Bølgetryk på en lodret mole.

For at få beskyttelse mod de voldsomme bølger ude fra havet bygger man moler omkring en havn. En mole kan hyppigt være en skrå stenkastningsmole af store sten, hvor man efter en for voldsom storm kan reparere hvor nogle sten er blevet flyttet af bølgerne.

Eller det kan være en vertikalmole med lodrette sider fx bygget af nogle store betonkasser der stilles på havbunden. Herved fås fuld vanddybde helt ind til molen på begge sider. En sådan vertikalmole skal dimensioneres så betonkassen ikke kan vælte eller ødelægges af fx bølgetryk under storm.

Hvor stor bliver det kritiske bølgetryk? Vi ser her på nogle bølgetilfælde, dels de kortvarige kraftige stødtryk og dels det lidt længerevarende sekunder-lange regelmæssige bølgtryk:

Bølgetrykkets størrelse øverst på en vertikalmole, fra en bølgetop, har stor betydning:

Lodret acceleration af bølgetop reducerer bølgetryk, og luftspalte reducerer max stødtryk.

Bølger kan være regelmæssige eller uregelmæssige af mange former. Vi betragter her 3 forskellige bølgetilfælde ved en lodret væg:

Bølgetilfælde air-compression shock stødtryk: Når en bølge ude fra havet rammer en konstruktion som en lodret molevæg så kan der med et drøn komme et imponerende højt sprøjt af vand. Det kan ske ved at bølgen ved væggen bryder over og med toppen lukker en luftlomme inde som der sammenpresses en masse bølgeenergi i, energi der så udløses ved at sende overliggende vand til vejrs. Se fx foto i pdf notat: http://lavigne.dk/waves/waveintr.pdf

Bølgetilfælde air-ventilated shock stødtryk: Et større men mere kortvarigt tryk på væggen fås ved at bølgen bryder så en plan lodret vandflade rammer ind i væggen. Det ligner måske teoretisk et såkaldt hammerstød, en enorm kraft bestemt af lydhastigheden i vandet, men det er ikke et hammerstød, som det stød der fås fra en fast stålhammer. Fordi lige inden den flydende ”vandhammer” rammer væggen skal en tynd luftspalte klemmes ud, og dette store lufttryk forplanter sig ind i det flydende vand og får det nærmeste vand til at ”bule lodret ud”, hvorved vandtrykket på væggen reduceres til ca. 1/10 - 1/5 af det mulige hammertryk (ifølge min teori og ifølge forsøg i USA). De fleste gange ved en sådan bølgefront vil den her slags stødtryk endda blive væsentligt mindre fordi den kraftige luftstrøm i luftspalten ofte vil danne en tilfældig bølgeujævn vandfront (som også USA forsøg viser).

Bølgetilfælde regelmæssig stående bølge: Et mere langvarrigt moderat tryk kommer når hele bølgeenergien, uden stødtryk, over nogle sekunder omdannes til en bølgetop som en regelmæssig stående bølge der ”vipper” op og ned ved væggen med en bølgeperiode på nær 10 sekunder, dvs. der i 2-3 sekunder er tryk fra en bølgetop på fx over 5 m højde ved en mole på 10 m vanddybde. En sådan bølgetop har en stor nedadrettet lodret acceleration, i overfladen helt op til 10 m/sek² (= tyngdeaccelerationen). Så vandtrykket i en 5 m høj bølgetop er væsentligt mindre end hviletrykket = hydrostatisk trykfordeling der vil give et tryk på 5 m vandsøjle ved middelvandspejlet, hvilket er det tryk man får af den traditionelt benyttede formel fra den klassiske potentialteori, en teori der forudsætter små bølger men i praksis ofte benyttes for normale bølger i mangel af bedre formler.

Dimensionering: Når man beregner stabiliteten af en vertikalmole, dens væltning, har bølgetrykket øverst på molen størst virkning. Om det så er det meget kortvarige stødtryk eller det lidt længere varende regelmæssige bølgetryk der er afgørende afhænger af molens konstruktion, af dens inerti og elasticitet og deformationsevne, og hvor kritisk det er med skader. Til dimensionering af mere lokal karakter som fx molevæggen kan stødtryk være væsentligt.

Maksimalt stødtryk: air-ventilated shock stødtryk, fra lodret bølgefront

Hvis en stor stålhammer eller stålstang rammer ind i vertikalmolens betonvæg vil stød-stålfladen trykkes elastisk sammen og denne sammentrykning vil løbe med lydens hastighed hen gennem stålstangen. Ved i stedet for stål at beregne med vand blev der i faglitteraturen på denne måde beregnet det maksimalt mulige stødtryk på en betonvæg, et hammerstødtryk (hammer shock). (Princip: tryk = vandhastighed gange vand-lydhastighed gange massefylde).

Men frit vand er anderledes end et fast materiale som stål med stor forskydningsstyrke, så der kommer ikke et hammer-stødtryk fra en stor bølgetop-vandhammer. Vandet umiddelbart ved stødfladen vil undvige opad og dermed aflaste det elastiske tryk. Og denne aflastning vil starte allerede lige inden vandet når væggen på grund af det voksende tryk fra udblæsning af luft fra den tynde luftspalte mellem vandet og væggen, det tryk vil bremse vandet. (Hvis luften alternativt delvis undslipper ind i vandet vil luftboblerne ”blødgøre” vandstødet). Så i stedet for at regne med at vandet i hele bølgetoppen farer ind i et kraftigt stødtryk på væggen så vil beskrevne ”udbuling” af vandet bevirke at man i en sædvanlig praktisk beregning kan benytte at det kun er den omregnede noget mindre hydrodynamiske masse der trykker. (Den betydelige bevægelsesenergi i den bagved kommende vandmasse omsættes så til en vandspejlstigning ligesom i en stående bølge).

For at få et tal på størrelsen af den vandrette hastighed med hvilken en lodret vandfront vil kunne støde ind i den lodrette væg kan man evt. betragte den størst mulige enkeltbølge. Teorien for den fremadskridende enkeltbølges bølgehastighed og vandrette vandhastighed er passende simpel til omsætning til praktisk brug her. Når bølgehøjden overskrider 0,8 gange vanddybden vil bølgen bryde. Bølgehastigheden (formhastigheden) er ca. kvadratroden af tyngdeaccelerationen gange vanddybden, dvs 10 m/sek ved 10 m vanddybde. Vandets hastighed mod væggen i så høj en bølge kan så være ca. det halve, afhængigt af de forhold fra fx den foregående bølge der får den betragtede enkeltbølge til at bryde så faretruende.

Med en tilnærmet beregning ud fra sædvanlige hydrodynamiske praktiske forudsætninger har jeg i 1969 udviklet et udtryk til beregning af det maksimale stødtryk fra en lodret vandfront der med kendt hastighed rammer ind i en lodret væg under hensyntagen til reaktionskraften fra udpresning af en tynd luftspalte. Se http://lavigne.dk/waves/shocke.htm Luftspalten bevirker at stødtrykket bliver meget mindre end et elastisk hammerstød. Med antagelse ud fra enkeltbølgen af den maksimale vandrette hastighed hvormed en lodret vandfront på 1m² rammer ind i den lodrette væg giver min opskrift så den maksimale stødkraft på denne 1m² molevæg til dimensionering af denne molevæg. For den betragtede bølge med en vandhastighed på 5 m/sek fås hermed et tryk på ca. 70 m vandsøjle (= 0,7 MPa), et meget stort tryk.

Men navnkundige USA Waterways Experiment Station formel for stødtryk (Kamel 1968) der benytter nævnte elasticitetskoefficienter vil give ca.10 gange så stort et tryk, 7 MPa. Til videnskabelig efterprøvning af teorien lod de vandrette plader af stål og andet materiale falde lodret ned mod en vandret vandoverflade (idet man jo ikke kontrolleret kan skabe en lodret bølgefront). Den vandrette vandoverflade mener jeg vil give et lidt større tryk end en lodret vandfront med nemmere forhold for ”vandudbulingen”. De mange målte stødtryk var med stor variation og var maximalt i kun få tilfælde ca. 1/5 af tryk beregnet efter elasticitetsformlen og generelt væsentligt mindre, i overensstemmelse med min betragtning af virkningen af reaktionskraften fra den undvigende luftspalte.

Så kunne man dimensionere hele molen og dens fundament for denne teoretiske maksimale kraft (på 0,7 MPa), men det er næppe praktisk relevant. Værst muligt vil det så være hvis den indkommende lodrette vandfront forekommer helt fra bunden og op, over en stor længde af molen, men hvor stor er sandsynligheden i molens levetid for det, og hvor stor en skade og flytning vil denne kortvarige stødkraft kunne give på molen og fx dens fundering. I faglitteraturen havde vældigt mange forfattere givet helt forskellige udtryk til beregning af stødtryk, ud fra teoretiske betragtninger eller ud fra praktisk erfaring, jeg så på 14 forslag. For jo så selv at give endnu et.

Til en international kongres i Delft i Holland i 1969, som jeg deltog i, skrev professor Lundgren en kort beskrivende artikel uden formler og beregninger om stødtryk med: well ventilated shock, compression shock, hammer shock. Jeg spurgte ham forgæves til ”ikke så well ventilated shock” og udviklede derefter min praktisk tilnærmet teori om stødtryk der på grund af udpresning af luft ikke kan give et hammer shock.

Bølgetryk fra regelmæssige stående bølger med korrekt overflade accelerations reduktion

Jeg har beskrevet en bølgeteori af 1’ og højere orden, der er lidt mere simpel og mere direkte end potentialteorien og som inkluderer virkningen af Newton’s 2’ lov af den lodrette acceleration helt op i bølgetoppen til vandoverfladen, og derfor ved middelvandspejlet giver et bølgetryk der er mindre end hydrostatisk tryk.

Den klassiske potentialteori giver et bølgetryk ved middelvandspejlet som er = hydrostatisk tryk = hviletryk, dvs. der er ikke inkluderet den reducerende virkning af den neadrettede lodrette acceleration af vandet i bølgetoppen. Vælger man så i den omtalte 5 m høje bølgetop at sige at der er der hydrostatisk trykfordeling som en rimelig tilnærmelse for små 1’ ordens bølger, så kunne man måske forvente at den mere præcise 2’ ordens teori ikke vil angive en hydrostatisk trykfordeling men et mere realistisk resultat. Men som det ses af undervisningshæftet fra Danmarks Tekniske Universitets bølgeteoretikere (ISVA, DTU, 1973-1974) angives der den lineære hydrostatisk trykfordeling for fx omtalte 5 m høje bølgetop i både 1’ og 2’ orden, se figur 6 side 8 i: http://lavigne.dk/wavepressure.pdf .

En 1’ ordens bølgeteori betragter alle 2’ og højere ordens led som så små at de er negligeable. Så er det principielt ligegyldigt om de ikke er med eller er med i et vist omfang. Man skal ikke mene at man med den klassiske potentialteori eller strømfunktionsteori absolut skal følge bestemte dogmatiske regler. I en 1’ ordens bølgeteori skal man medtage de 2’ og højere ordens led som giver en praktisk forbedring af et bestemt emne: fx acceleration af overflade og bølgetryk i bølgetop og som også, i modsætning til potentialteorien, giver korrekt tryk i overfladen af bølgedal.

Resume af relevante formler fra den beskrevne 1’ ordens bølgeteori kan ses på side 3 i pdf notat: http://lavigne.dk/wavepressure.pdf . Her ses at ved den lodrette væg følger vandets lodrette hastighed en hyperbolsk sinus fordeling med vandhastighed = 0 ved bunden (sinh = 0). Og i overfladen er vandpartikelhastighed = bølgeoverfladehastighed, hvilket jo ikke helt er tilfældet med potentialteorien. Helt tilsvarende følger lodret acceleration en sinh fordeling hele vejen fra bølgeoverfladen og ned til bunden (og ikke blot fra middelvandspejl og ned som i potentialteorien). Med disse simple udtryk fås fx det korrekte vandtryk i vandoverfladen, hvilket ikke er tilfældet med potentialteoriens formler.

Hele bølgeteorien er beskrevet på: http://lavigne.dk/waves/wavesd.htm

Se også: http://lavigne.dk/waves/waveintr.pdf og http://lavigne.dk/wavepressure.pdf.